．已知点P是长轴长为
的椭圆Q：
上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为
．
（1）求椭圆Q的方程；
（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是
，求|CD|的最小值．
．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．
（1）求椭圆Q的方程；
（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．
【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为
，求出
．设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为
，化简求出b，即可得到椭圆方程．
（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入
有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出
，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值．
【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为，∴．
设P（x0，y0），
∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴
，
∴
，∴b=1，
故椭圆的方程为
．
（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），
∴
．
∴
∴CD的垂直平分线方程为
，
令y=0，得
∵
，∴
，∴
．
=
，
．