已知函数
.
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）当
时，证明: 
（其中e为自然对数的底数）.
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.
.解析：（1）由题意，函数
的定义域为
,
当
时，
恒成立，故的递增区间为
；
当
时，在区间
，
时
，
时
，
所以的递增区间为，，递减区间为；
当
时，在区间
，
时，
时，
所以的递增区间为，，递减区间为； （5分）
（2）当
时，由
,只需证明
.
令
，
.
设
，则
.
当
时，
，
单调递减;
当
时，
，单调递增,
∴当
时，取得唯一的极小值，也是最小值.
的最小值是
成立.
故成立. （12分）