在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 ．
在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 ．
2
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高h的函数V（h），利用导数与函数的最值得关系计算V（h）的极小值点．
【解答】解：设△ABC的中心为O，取AB中点D，连结OD，VD，VO，
设OD=a，VO=h，则VD=
=
．
AB=2AD=2
．
过O作OE⊥VD，则OE=2，
∴S△VOD=
，
∴ah=2
，整理得a2=
（h＞2）．
∴V（h）=
S△ABC•h=
a2h=
a2h=
．
∴V′（h）=4
×
=4×
．
令V′（h）=0得h2﹣12=0，解得h=2．
当2＜h
时，V′（h）＜0，当h
时，V′（h）＞0，
∴当h=2
时，V（h）取得最小值．
故答案为2．
