如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O
（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD;
（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；
（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求
的值.
如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O
（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD;
（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；
（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值.
解：（Ⅰ）连接OQ，由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面
BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PACQ, ∴BD⊥OP.
由题中数据得PA=2，AO=OC=
,OP=
,QC=1，OQ=
∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,
又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ
（或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP⊥OQ）------------------3分
∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD--------------------------4分
（Ⅱ）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系，
∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分
∴
=(-2,0,2), 
=（0,2,1）,设平面PBQ的法向量
∴
，得
，
不妨设
，∴
--------------------------------------------------6分
由（Ⅰ）知平面BDQ的法向量
，---------------------------------7分
，
>=
，
∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为
.--------------------------------------9分
（Ⅲ）设
,∴
,
，
∵CE∥平面PBQ,∴
与平面PBQ的法向量垂直。
,-------------------------------------------
∴
. ∴
--------------------------------------------------13分
（方法二）在平面PAD中，分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M，
连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E， -------11分
由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N
∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分
∵CQ=1，MD=PA=2，∴
∵NE∥PQ, ------------------------------------------------------------13分