17.已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=,sin（A－B）=.（Ⅰ）求证tanA=2tanB;

17.已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=,sin（A－B）=.

（Ⅰ）求证tanA=2tanB;

（Ⅱ）设AB=3,求AB边上的高.

答案

17.本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力.

（Ⅰ）证明：

∵sin（A+B）=,sin（A－B）=,

∴

所以tanA=2tanB.

（Ⅱ）∵<A+B<π,sin（A+B）=,∴tan（A+B）=－，

即=－.

将tanA=2tanB代入上式并整理得

2tan²B－4tanB－1=0.

解得tanB=,舍去负值得tanB=,

∴tanA=2tanB=2+.

设AB边上的高为CD，

则AB=AD+DB=+=,

由AB＝3，得CD=2+.

所以AB边上的高等于2+.

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