首页 / 18.如图，A1、A为椭圆的两个顶点，F1、F2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写

18.如图，A1、A为椭圆的两个顶点，F1、F2为椭圆的两个焦点. （Ⅰ）写

18.如图，A1、A为椭圆的两个顶点，F1、F2为椭圆的两个焦点.

（Ⅰ）写出椭圆的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过线段OA上异于O、A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P、P1两点，直线A1P与AP1交于点M.

求证：点M在双曲线

－=1上.

答案

18.（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，所以b=

=3.

该椭圆的方程为

+=1，准线方程为x=±.

 

（Ⅱ）证明：设K点坐标为（x0，0）.点P、P1的坐标分别记为（x0，y0），（x0，－y0），

 

其中0<x0<5，则

+=1                       ①

 

直线A1P、P1A的方程分别为：

 

（x0+5）y=y0（x+5），                                                      ②

 

（5－x0）y=y0（x－5）.                                                    ③

 

②式除以③式得

=.

 

化简上式得x=

，代入②式得y=.

 

于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为（

，）.

 

因为

（）2－（）2=－（1－）=1，

 

 

所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线

－=1上.

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