在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．

（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；

（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）由由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC₁A₁的度数；

（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易证得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC₁的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，即可求得线段EP₁长度的最大值与最小值．

【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，

∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，

∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，

∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，

∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，

∴∠ABA₁=∠CBC₁，

∴△ABA₁∽△CBC₁．

∴，

∵S_△ABA1=4，

∴S_△CBC1=；

（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁﹣BE=BD﹣BE=﹣2；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=2+5=7．

【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．