)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程；
(2)若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.
)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程；
(2)若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.
解析：(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0.
∵该直线与圆x2+(y-)2=1相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.
故设双曲线C的方程为
=1.
又双曲线C的一个焦点为(
,0)，∴2a2=2,a2=1.
∴双曲线C的方程为x2-y2=1.
(2)若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|.
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|.
根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2(
,0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-
)2+y2=4(x≠0). ①
由于点N是线段F1T的中点，设N(x,y),T(xT,yT),则
即
代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1(x≠-
).