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等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD交BC于E,用坐标法

等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD交BC于E,用坐标法证明∠ADB=∠CDE.

答案

证明

:建立坐标系如图所示,设|AB|=|AC|=a,则在坐标系中各点坐标是A(0,0)、B(0,a)、C(a,0)、D(,0).

由斜率公式得.由已知AE⊥BD,得AE所在的直线方程是.

E点的坐标(x0,y0)满足

解得.

也就是tan∠CDE=2.

而tan∠ADB=tan(180°-∠CDB)

=-tan∠CDB=-kBD=-(-2)=2,

∴tan∠CDE=tan∠ADB.

又∠CDE和∠ADB都是锐角,

∴∠CDE=∠ADB.

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