已知正项数列{an} 满足a1=a(0＜a＜1＝,且an+1=.求证:(1)0＜an+1＜；(2)an=;(3)

已知正项数列{a_n} 满足a₁=a(0＜a＜1＝,且a_n+1=.求证:

(1)0＜a_n+1＜；

(2)a_n=;

(3)+…+＜1.

答案

证明：(1)∵y=,

∴函数y=(0＜x＜1)是增函数.

由已知a_n+1=,0＜a_n＜1,

∴0＜a_n+1＜.

(2)∵a_n+1=(n∈N^*),

∴1(n∈N^*),

即数列{}是首项为,公差为1的等差数列.

∴=+(n-1),a_n=(n∈N^*).

(3)由已知a_n=(∵0＜a＜1),

∴+…++…+

=1-＜1.

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