（08年天津南开区质检二文）（14分）
已知某椭圆的焦点是
，过点
并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
。椭圆上不同的两点
满足条件：
成等差数列。
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为
，求m的取值范围。
（08年天津南开区质检二文）（14分）
已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。椭圆上不同的两点满足条件：成等差数列。
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。
解析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力。
（1）解：由椭圆定义及条件知
，得
，又
所以
，故椭圆方程为
（5分）
（2）解：由点B（4，
）在椭圆上，得
因为椭圆右准线方程为
，离心率为
根据椭圆定义，有
由
成等差数列，得
由此得出
，设弦AC的中点为P（
）
则
（10分）
（3）解：由
在椭圆上，得
①
②
①－②得
即
将
代入上式，得
由上式得
（当
时也成立）（12分）
由点P（4，
）在弦AC的垂直平分线上，得
所以
由P（4，）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得
，所以
（14分）