如图，点 E 在等边 的边 BC 上， ，射线 于点 C ，点 P 是射线 CD 上

如图，点 E 在等边 的边 BC 上， ，射线 于点 C ，点 P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 的值最小时， ，则 AC 为（ ）

A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 10

D

【解析】

【分析】

作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′ ，连结 FE′ ，当点 E ′ 、 P 、 F 三点共线，且 E ′ F ⊥ AB 时， EP + PF 的值最小，由 ∠ B ＝ 60° ， ∠ BFE′ ＝ 90° ，推出 ∠ E′ ＝ 30° ，从而推出 BE′ ＝ 14 ，从而求出 CE ＝ CE′ ＝ 4 ，进一步即可求出 AC 的长度 .

【详解】

∵△ ABC 是等边三角形，

∴ AC ＝ BC ， ∠ B ＝ 60° ，

作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′ ，连结 FE′ ，

∴ PE = PE ′ ，

PE + PF = PE ′+ PF ≥ FE ′ ，

当点 E ′ 、 P 、 F 三点共线，且 E ′ F ⊥ AB 时， EP + PF 的值最小等于 E ′ F ，

∵∠ B ＝ 60° ， ∠ BFE′ ＝ 90° ，

∴∠ BE′F ＝ 30° ，

∵ BF ＝ 7 ，

∴ BE′ ＝ 2 BF ＝ 14 ，

∵ BE =6 ，

∴ EE ′= BE ′- BE =14-6=8 ，

∴ EC = CE ′=4 ，

∴ AC ＝ BC ＝ BE ′- CE ′=14-4=10 ，

故选： D ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，轴对称性质， 30° 直角三角形性质，解题的关键是作辅助线找出点 P ，推出此时， EP + PF 的值最小是解题关键