如图1-5-21,已知△ABC中,BD、CE是高,EH⊥BC于H,交BD于G,交CA的延长线于M,求

如图1-5-21,已知△ABC中,BD、CE是高,EH⊥BC于H,交BD于G,交CA的延长线于M,求证:HE²=HG·MH.

图1-5-21

答案

证明

:∵CE⊥BE,EH⊥BC,

∴由射影定理EH²=BH·CH.

∵∠GBH+∠HCM=90°,∠M+∠HCM=90°,

∴∠GBH=∠M.

又∵∠BHG=∠MHC,

∴△BHG∽△MHC.

∴

∴BH·HC=HG·MH.∴HE²=HG·MH.

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