已知函数
有三个极值点。
（I）证明：
；
（II）若存在实数c，使函数
在区间
上单调递减，求
的取值范围。
已知函数有三个极值点。
（I）证明：；
（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。
（1）同解析；(2) 的取值范围是
.
解：（I）因为函数有三个极值点,
所以
有三个互异的实根.
设
则
当
时，
在
上为增函数;
当
时，
在
上为减函数;
当
时， 在
上为增函数;
所以函数在
时取极大值,在
时取极小值.
当
或
时,
最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以
且
.
即
,且
,
解得
且
故.
（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.
不妨设为
（
），则
所以的单调递减区间是
,
若在区间上单调递减，
则
, 或,
若,则
.由（I）知，
,于是
若,则
且
.由（I）知，
又
当
时，
;
当
时，
.
因此, 当时，
所以
且
即
故
或反之, 当或
时，
总可找到
使函数在区间上单调递减.
综上所述, 的取值范围是.