如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．
如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．
解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴
．
∴AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝
BC＝2
．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝
．∴PE＝
＝
＝
．
从而PC＝PE＋EC＝
．由(1)得CD＝PC＝
(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝
PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．
∴S△PCD＝
PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝
．