现有一张长为80 cm、宽为60 cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,把长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V(cm3).
(1) 求出x与y的关系式;
(2) 求该铁皮盒体积V的最大值.
现有一张长为80 cm、宽为60 cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,把长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V(cm3).
(1) 求出x与y的关系式;
(2) 求该铁皮盒体积V的最大值.
(1) 由题意得x2+4xy=4800,即y=
,0<x<60.
(2) 铁皮盒体积函数V(x)=x2y=x2·=-
x3+1200x,则V'(x)=-
x2+1 200.令V'(x)=0,解得x=40.
因为x∈(0,40),V'(x)>0,V(x)是增函数;
x∈(40,60),V'(x)<0,V(x)是减函数.
所以V(x)=-x3+1200x在x=40时取得极大值,也是最大值,其值为32000 cm3.
答:该铁皮盒体积V的最大值是32000 cm3.