(Ⅰ)求证：若函数f(x)为Ω函数，则f(0)=0；
(Ⅱ)试判断函数f1(x)=xsinx、f2(x)=
和f3(x)=
中哪些是Ω函数，并说明理由；
(Ⅲ)若f(x)是奇函数且是定义在R
上的可导函数，函数f(x)的导数f′(x)满足|f′(x)|＜1，试判断函数f(x)是否为Ω函数，并说明理由．
(Ⅰ)求证：若函数f(x)为Ω函数，则f(0)=0；
(Ⅱ)试判断函数f1(x)=xsinx、f2(x)=和f3(x)=中哪些是Ω函数，并说明理由；
(Ⅲ)若f(x)是奇函数且是定义在R
上的可导函数，函数f(x)的导数f′(x)满足|f′(x)|＜1，试判断函数f(x)是否为Ω函数，并说明理由．答案：
解：(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为R，且|f(x)|≤|x|，∴|f(0)|≤0，又|f(0)|≥0，∴f(0)=0．
(Ⅱ)∵|x||sinx|≤|x|，
∴f1(x)=xsinx是Ω函数；
∵f2(0)=＞0
∴f2(x)=不是Ω函数；
∵
=|x|，
∴f3(x)=
是Ω函数．
(Ⅲ)∵函数f(x)是定义在R
上的奇函数，∴f(0)=0
∵|f′(x)|＜1，∴-1＜f′(x)＜1．
当x≥0时，
设函数F(x)=f(x)-x，和G(x)=f(x)+x．
∴F′(x)=f′(x)-1＜0，G′(x)=f′(x)+1＞0．
∴F(x)=f(x)-x在[0，+∞)上是减函数，
G(x)=f(x)+x在[0，+∞)上是增函数．
∴F(x)=f(x)-x≤F(0)=0，
G(x)=f(x)+x≥G(0)=0．
∴-x≤f(x)≤x．
∴当x≥0时，|f(x)|≤|x|成立．
当x＜0时，-x＞0，∴|f(-x)|＜|-x|，
∵f(x)为奇函数，∴|-f(x)|＜|-x|，
即|f(x)|＜|x|成立．
∴当x∈R
时，|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立．故函数f(x)是Ω函数．