已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．
（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（
），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=
，令f（x）=0，求得x=﹣
，或 x=3，
故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，
由（1）可得f（x）的最小值为f（
）=﹣3•﹣1=﹣
，故﹣
＜4a﹣2a2 ，
求得﹣
＜a＜．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．