（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体
中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥
，截面PQGH∥
．
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若
，求
与平面PQEF所成角的正弦值．
（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．
（Ⅰ）同解析（Ⅱ）截面PQEF和截面PQGH面积之和为
，是定值．（Ⅲ）
．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，
，
，
又由已知可得
，
，
，
所以
，
，
所以
平面
．
所以平面和平面
互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值． 8分
（Ⅲ）解：设
交
于点
，连结
，
因为
平面，
所以
为
与平面所成的角．
因为
，所以
分别为
，
，
，
的中点．
可知
，
．
所以． 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得
，故
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为
，所以
是平面PQEF的法向量．
因为
，所以
是平面PQGH的法向量．
因为
，所以
，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为
，所以
，又
，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得
，
，
所以
，又
，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知
是平面的法向量．
由
为中点可知，
分别为，，的中点．
所以
，
，因此与平面所成角的正弦值等于
． 12分