设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意的x1,x2∈(0,+∞),有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有
>0.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(x+6)>2,求x的取值范围.
设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意的x1,x2∈(0,+∞),有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有>0.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(x+6)>2,求x的取值范围.
解(1)在f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=1,得f(x2)=f(1)+f(x2),故f(1)=0.
(2)在f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=x2=4,
得f(16)=f(4)+f(4)=2.
因为当x1≠x2时,
>0,
所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.
又因为f(x+6)>2,所以f(x+6)>f(16),
即x+6>16,解得x>10.
故x的取值范围是(10,+∞).