已知x,y∈R.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
已知x,y∈R.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明（充分性）
若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上，命题得证.
证明（充分性）
若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上，命题得证.