如图，平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=900, ∠BDC=600,BC=6,AB=AC．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A—CD—B的平面角的正切值；
（Ⅲ）设过直线AD且与BC平行的平面为
，求点B到平面的距离。
如图，平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=900, ∠BDC=600,BC=6,AB=AC．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A—CD—B的平面角的正切值；
（Ⅲ）设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。
(1)证明见解析(2) 2(3)
（Ⅰ）证明 ∵平面ACB⊥平面BCD，∠CBD=900，
∴DB⊥平面ACB, ∴DB⊥CA．又∠CAB=900，∴CA⊥平面ADB
∴平面ACB⊥平面BCD． ——————————4分
（Ⅱ）解 设BC的中点为E，作EF⊥CD，垂足为F，连结AF。
∵AC=AB，∴AE⊥BC，∵平面ACB⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD,
∴FE是AF在平面BCD内的射影，
∴AF⊥CD,
即∠AFE就是二面角A—CD—B的平面角。 ———————6分
在等腰直角△ABC中，斜边BC=6, ∴AE=3，且CE=3,
在Rt△CEF中，∠ECF=300, ∴EF=
,
∴tan∠AFE=
，即二面角A—CD—B的平面角的正切值是2． ———————8分
（Ⅲ）解 如图，设DC的中点为G，分别以直线EG．EB．EA为x．y．z轴，建立空间直角坐标系E—xyz．
∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(
,3,0)
,
，
设过AD和BC平行的平面
的一个法向量是n=（a,b,c），则有
且
，即
且3b=0,取
得n=
，
∴点B到的距离d=
。 ———————12分