证明:设正四面体S—ABC和正八面体AC的棱长都为a，正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β.
在正四面体S—ABC中(图甲)，作SG⊥底面ABC于G，连结AG并延长交BC于D，连结SD.
∴G为正△ABC的中心.
∴AD⊥BD.
∴SD⊥BC(三垂线定理).
∴∠SDG为二面角的平面角，即∠SDG=α.
又AD=SD=
∴SG=
∴tanα=
甲 乙
在正八面体AC中(图乙)，连结EF交截面ABCD于O，取AB的中点G，连结EG、FG、OG，则EG⊥AB，FG⊥AB，
∴∠EGF为二面角的平面角，由对称性知，∠EGO=∠OGF=β.
又EG=
a,∴EO=
a.∴tan∠EGO=tanβ=
∴tan2β=
∴tan(α+2β)=
∵0°＜α+2β＜270°,
∴α+2β=180°.
∴正四面体和正八面体的二面角互补.