(1)求a2,a3,a4;
(2)是否存在一个实数λ,使得数列{
}成等差数列,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由;
(3)设Sn为数列{an}的前n项和,证明Sn＞n3+n2.
(1)求a2,a3,a4;
(2)是否存在一个实数λ,使得数列{}成等差数列,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由;
(3)设Sn为数列{an}的前n项和,证明Sn＞n3+n2.
(2)假设存在一个实数λ,使得数列{}成等差数列,则
=
=1+
恒为常数,
∴2-λ=0,即λ=2.而
+
=1,
∴λ=2时数列{
}为等差数列.
(3)解法一:
=
+(n-1)=n+1,
∴an=(n+1)2n-2.
Sn=2·2+3·22+4·23+…+(n+1)2n-2n,
2Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)2n+1-4n.
两式相减得
-Sn=2·2+22+23+…+2n-(n+1)2n+1+2n=-n·2n+1+2n.
∴Sn=n·2n+1-2n=2n(2n-1)=2n［(1+1)n-1］=2n(1+n+
+…-1)≥n3+n2.
解法二:用数学归纳法也可.