已知函数
.
（I）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求函数的极值；
（II）当
时，若函数
在区间
上的最小值为
，求
的值；
（III）讨论函数
零点的个数.
已知函数.
（I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；
（II）当时，若函数在区间上的最小值为，求的值；
（III）讨论函数零点的个数.
解：（I）
， …………1分
因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以
，
即
，解得
.所以
， …………2分
当
时，
，在
上单调递减；
当
时，
，在
上单调递增；…3分
当
时，取得极小值
.
极小值为
. ………4分
(II)当
时，
在（1，3）上恒成立，这时
在[1，3]上为增函数
,
令 
，得
（舍去）,……5分
当
时，由
得，
,
若
，有
在
上为减函数，
若
有
在
上为增函数，
，令
，得
……7分
当
时，
在（1，3）上恒成立，这时在
上为减函数，
∴
.令
得
（舍去）
综上知,
. ……9分
(III)
函数
令
，得
， 设
当
时，
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，此时在
上单调递减；
所以
是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，
的最大值为
. ……11分
又
，结合y=的图像（如图），可知
① 当
时，函数
无零点；
②当
时，函数有且仅有一个零点；
③当
时，函数有两个零点；
④
时，函数有且只有一个零点； ………13分
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点. ……14分