（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．
已知椭圆
的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为
、
，抛物线
的准线与
轴交于，椭圆与抛物线
的一个交点为
.
（1）当
时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线
过焦点，与抛物线交于
两点，若弦长
等于
的周长，求直线的方程；
（3）由抛物线弧
和椭圆弧
（
）合成的曲线叫“抛椭圆”,是否存在以原点
为直角顶点，另两个顶点
落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形
，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.
解：（1）设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,
当
=1时，由题意得，a=2c=2,
,
所以椭圆的方程为
.（4分）
（2）依题意知直线
的斜率存在，设
，由
得，
，由直线与抛物线
有两个交点，可知
.设
，由韦达定理得
，则
（6分）又
的周长为
，所以
， （8分）
解得
，从而可得直线的方程为
（10分）
（3）由题意得，“抛椭圆”由抛物线弧
和椭圆弧
合成，且
、
。
假设存在
为等腰直角三角形，由
所在曲线的位置做如下3种情况讨论：
①当同时在抛物线弧上时，由
、
的斜率分别为
，
比为钝角，显然与题设矛盾. 此时不存在 （12分）
② 当同时在椭圆弧上时，由椭圆与等腰直角三角形的对称性知，则两直角边关于x轴对称.即直线
的斜率为1，直线
的斜率为
，
得
符合题意；此时存在（15分）
③ 不妨设当
在抛物线弧上，
在椭圆弧上时，
于是设直线的方程为
（其中
），将其代入
得
；由
，直线
的方程为
，同理代入椭圆弧方程
得
,
由
得
,解得
与矛盾，此时不存在。
因此，存在以原点
为直角顶点，另两个顶点落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，两直角边所在直线的斜率分别为1和.（18分）