已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
图T5-6
已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
图T5-6
证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∠ACB=∠ECD=90°,
∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠B=∠CAE=45°.
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AD2+AE2=DE2.
由(1)知AE=DB,
∴AD2+DB2=DE2,
又DE2=2CD2,
∴2CD2=AD2+DB2.