已知函数
且
.
（1）求a；
（2）证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
【解析】 ⑴ 因为
，
，所以
．
令
，则
，
，
当
时，
，
单调递减，但，
时，
；
当
时，令
，得
．
当
时，，单调减；当
时，
，单调增．
若
，则在
上单调减，
；
若
，则在
上单调增，；
若
，则
，
．
综上，．
⑵ 
，
，．
令
，则
，．
令
得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，单调递增．
所以，
．
因为
，
，
，
，
所以在
和
上，即
各有一个零点．
设在和上的零点分别为
，因为在上单调减，
所以当
时，
，
单调增；当
时，
，单调减．因此，
是的极大值点．
因为，在上单调增，所以当
时，，单调减，
时，单调增，因此
是的极小值点．
所以，有唯一的极大值点．
由前面的证明可知，
，则
．
因为
，所以
，则
又
，因为
，所以
．
因此，
．