如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；
(1)证明 在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC.
又平面ABC⊥平面AA1C1C，且
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
∴AA1⊥平面ABC.
(2)解：由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知，
在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，
∴BC2＝AC2＋AB2，
∴AB⊥AC.
∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.
A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是
＝(4,0,0)，
＝(0,3，－4)，
＝(4，－3,0)，
＝(0,0,4)．
设平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
22. 解： (1)∵2a＝4，∴a＝2， 又M
在椭圆上，
∴
＋
＝1，解得b2＝2，∴所求椭圆方程
＋
＝1.
(2)由题意知kMO＝
，∴kAB＝－
.
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立方程组
消去y，得13x2－4mx＋2m2－4＝0，
Δ＝(－4m)2－4×13×(2m2－4)＝8(12m2－13m2＋26)＞0，
∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝
，x1x2＝
，
则O
·O
＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－m(x1＋x2)＋m2
＝
∈
.
∴O·O的取值范围是
.