已知函数f(x)＝
x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间上的最大值.
已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间上的最大值.
解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，………………1分
∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，
∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a2－1＋b，………………3分
又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，………………4分
解得a＝1，b＝
.………………6分
(2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x，
由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有
| x | (－∞，0) | 0 | (0,2) | 2 | (2，＋∞) |
| f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f(x) | | 极大值 | | 极小值 | |
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．………………9分
∵f(0)＝，f(2)＝
，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在区间上的最大值为8.---------12分
