(2007北京四中模拟一)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求
的最大值.并求出此时b的值.
(2007北京四中模拟一)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求
的最大值.并求出此时b的值.
.,![]()
解 (1)设B点的坐标为(0,
),则C点坐标为(0,
+2)(-3≤
≤1),
则BC边的垂直平分线为y=
+1 ①
②由①②消去
,得
.∵
,∴
.故所求的△ABC外心的轨迹方程为:
.
(2)将
代入
得
.由
及
,得
.所以方程①在区间
,2
有两个实根.设
,则方程③在
,2
上有两个不等实根的充要条件是:
得![]()
∵
∴![]()
又原点到直线l的距离为
,
∴
∵
,∴
.
∴当
,即
时,
.