，an+1=
an+
.求证：（1）2＜an＜3；
（2）an+1－2＜
（an－2）；
（3）an－2＜（
）2n－1.
，an+1=an+.求证：（1）2＜an＜3；
（2）an+1－2＜（an－2）；
（3）an－2＜（）2n－1.
证明：（1）用数学归纳法证明.
∵2＜a1=＜3，
∴n=1时，不等式成立.
假设当n=k时命题成立，即有2＜ak＜3.
当n=k+1时，
ak+1=ak+＞2=2（ak＞2）.
又ak＜
，
＜1，
∴ak+1=
ak+
＜1+
＜3.
∴2＜ak+1＜3.
当n=k+1时，不等式成立.
由上可知不等式2＜ak＜3对任意正整数都成立.
（2）an+1－2=
an+
－2=
（an－2）2.
∵2＜an＜3，0＜an－2＜1，
∴an+1－2＜
＜
= 
（an－2）.
（3）由（2）知an－2＜
（an－1－2）＜
（
）2（an－2－2）＜…＜（
）n－1（a1－2）
=
（
）n－1=（
）2n－1，∴问题得证.