（本小题满分14分）如图，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O（O为坐标原点），且
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果椭圆上的两点P、Q，使得直线CP、CQ
与
轴围成底边在轴上的等腰三角形，
是否总存在实数
使得
？
请给出证明.
（本小题满分14分）如图，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O（O为坐标原点），且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果椭圆上的两点P、Q，使得直线CP、CQ
与轴围成底边在轴上的等腰三角形，
是否总存在实数使得？
请给出证明.
（1）设椭圆的方程为
，
因为椭圆的长轴长为4，所以
， （1分）
因为点A是椭圆的右顶点，所以
，
因为
，
所以
是等腰直角三角形，从而知C点的坐标为（1,1）， （3分）
代入椭圆的方程得
，
所以椭圆的方程为
. （5分）
（2）依题意可设直线
，
与椭圆的方程联立，消去y得
， （6分）
则
，
从而
且
， （7分）
设点
，而
，由根与系数的关系知，
， （8分）
将P点的坐标代入直线
，得
， （9分）
因为直线CP、CQ的斜率互为相反数，而
且，
故设点
，
同理可知
， （11分）
所以
， （12分）
因为椭圆是中心对称图形，所以
，
故
，即总存在实数
，使
. （14分）