计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

解：(1)依题意，p₁＝P(40<X<80)＝＝0.2，

p₂＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，

p₃＝P(X>120)＝＝0.1.

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

p＝C(1－p₃)⁴＋C(1－p₃)³p₃＝0.9⁴＋4×0.9³×0.1＝0.947 7.

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．

①安装1台发电机的情形．

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.

②安装2台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p₁＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝ p₂＋p₃＝0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.

③安装3台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p₁＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p₂＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p₃＝0.1.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．