（天津卷文21）设函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在
处有极值，求
的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．
（天津卷文21）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：
．
当
时，
．
令
，解得
，
，
．
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
| 2 |
|
|
| － | 0 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．
（Ⅱ）解：
，显然
不是方程
的根．
为使仅在处有极值，必须
成立，即有
．
解些不等式，得
．这时，
是唯一极值．
因此满足条件的
的取值范围是
．
（Ⅲ）解：由条件
，可知
，从而
恒成立．
当
时，
；当
时，
．
因此函数在
上的最大值是
与
两者中的较大者．
为使对任意的，不等式
在上恒成立，当且仅当
，即
，在上恒成立．
所以
，因此满足条件的
的取值范围是
．
