,（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
,（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
思路分析：
导函数的几何意义在讨论函数的基本性质方面有很大的作用.对参数a进行分类讨论是本题的易错点，解题时应当理清思路，避免错误.解：（1）由题设知 a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-).
令f′(x)=0得x1=0,x2=
.
当a＞0时，若x∈（-∞，0），则f′（x）＞0，所以f（x）在区间（-∞，
）上是增函数；若 x∈（0，
），则f′（x）＜0，所以f（x）在区间（0，
）上是减函数；若x∈（
，+∞），则f′（x）＞0，所以 f（x）在区间（
，+∞）上是增函数；
当a＜0时，若x∈（-∞，
），则f′（x）＜0，所以f′（x）在区间（-∞，
）上是减函数；若 x∈（0，
)，则f′（x）＜0，所以f（x） 在区间（0，
）上是减函数；若x∈（
，0），则f′（x）＞0，所以f（x）在区间（
，0）上是增函数；若x∈（0，+∞），则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f(x)在x=0,x=
处分别是取得极值f(0)=1-
，f（
）=
+1.
因为线段AB与x轴有公共点，所以f（0）·f（
）≤0.
即（
+1）（1-
）≤0.所以
≤0.
故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0.
解得 -1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].