（2009广东卷理）（本小题满分14分）
已知曲线
与直线
交于两点
和
，且
．记曲线
在点
和点
之间那一段
与线段
所围成的平面区域（含边界）为
．设点
是上的任一点，且点
与点和点均不重合．
（1）若点
是线段的中点，试求线段
的中点
的轨迹方程；
（2）若曲线
与有公共点，试求
的最小值．
（2009广东卷理）（本小题满分14分）
已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．
（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；
（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．
解：（1）联立
与
得
，则
中点
，设线段
的中点
坐标为
，则
，即
，又点
在曲线
上，
∴
化简可得
，又点是
上的任一点，且不与点
和点
重合，则
，即
，∴中点的轨迹方程为（）.
（2）曲线
，
即圆
：
，其圆心坐标为
，半径
由图可知，当
时，曲线与点
有公共点；
当
时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线
的距离
，得
，则
的最小值为
.