如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的
处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是
,点
在直径
上，且
．
（1）若
，求
的长；
（2）设
, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．
（1）若，求的长；
（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
.
（1）连结
，已知点在以为直径的半圆周上，所以
为直角三角形， 因为
，，所以
，
，………………… 2分
在
中由余弦定理
，且，所以
，解得
或
，………………… 4分
（2）因为
，，所以
， ………………… 6分
所以
，
在
中由正弦定理得
，所以
，…………8分
在中，由正弦定理得：
，所以
，…………… 10分
若产生最大经济效益，则
的面积
最大，
，………………… 12分
因为
，所以
.
所以当
时，取最大值为
，此时该地块产生的经济价值最大．………………… 14分