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已知抛物线y2=4px(p＞0),O为顶点,A、B为抛物线上两动点，且满足OA⊥OB

已知抛物线y2=4px(p＞0),O为顶点,A、B为抛物线上两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求M的轨迹方程.

答案

解：设M（x0，y0）,则kOM=，kAB=-，

直线AB方程是y=-（x-x0）+y0.

由y2=4px可得x=,将其代入上式，整理得

x0y2-（4py0）y-4py02-4px02=0.①

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标.

根据韦达定理得，由①可得y1·y2=，

又∵A、B在抛物线上，∴A(，y1)、B(，y2).

∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=-1.

∴·=-1.∴y1y2=-16p2.

∴=16p2.

化简得x02+y02-4px0=0，即x2+y2-4px=0（除去原点）为所求.

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