已知函数
，
且
）．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若
，方程f (x) =2 a x有惟一解时，求
的值。
已知函数，且）．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若，方程f (x) =2 a x有惟一解时，求的值。
（1）当k是奇数时,f(x)在(0,+
)上是增函数 ；当k是偶数时,f(x)在
是减函数,在
是增函数 （2）
(1)由已知得，x＞0且
．
当k是奇数时,则
,则f(x)在(0,+)上是增函数; ……（2分）
当k是偶数时,则,
, ……（3分）
所以当x
时,
, 当x时,，
故当k是偶数时,f(x)在是减函数,在是增函数．……（5分）
（Ⅱ）若
，则
）
记g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax,
,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……（6分）
令
,得
，
（舍去）
……（7分）
当
时，
,
在
是单调递减函数；
当
时，
,在
上是单调递增函数。
当x=x2时, 
,
…………（8分）
有唯一解，
则
，即
………（9分）
…………（10分）
设函数
，
∵在x>0时, h (x)是增函数，∴h (x) = 0至多有一解。
∵h (1) = 0, ∴方程(*)的解为x 2 = 1，即
，解得。…………（12分）