,函数g(x)=6lnx+m. (1)当x＞1时,求函数f(x)的最小值;
(2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.
,函数g(x)=6lnx+m. (1)当x＞1时,求函数f(x)的最小值;
(2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.
解
:(1)方法一:∵x＞1,f(x)=
=
≥0,当且仅当x=4时,取等号,故函数f(x)的最小值为0;
方法二:∵x＞1,f(x)=x-1+
-6≥2
-6=0,
当且仅当x-1=
,即x=4时,取等号,故函数f(x)的最小值为0.
方法三:求导(略).
(2)由于h(x)=(1-x)f(x)+16=8x-x2,
设F(x)=g(x)-h(x)=6lnx+x2-8x+m(x＞0且x≠1),则
F′(x)=
+2x-8=
.
又F′(x)=0得x=3或x=1(舍),
又∵当x→0+时,F(x)→-∞,当x→+∞时,F(x)→+∞,limx→1F(x)=m-7,
F(3)=6ln3-15+m,
根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如下:
由此可得:
当m≤7或m＞15-6ln3时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点;
当m=15-6ln3时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点;
当7＜m＜15-6ln3时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有3个交点.