在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）．

（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．

（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx²﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】（1）证明△＞0即可；

（2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x₁、x₂为方程mx²﹣8mx+16m﹣1=0的两根，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=8，x₁•x₂=，再变形|x₁﹣x₂|=2得到（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂=4，所以8²﹣4•=4，然后解出m即可得到抛物线解析式；

（3）先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0，然后解不等式即可．

【解答】（1）证明：△=64m²﹣4m•（16m﹣1）

=4m，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）根据题意，x₁、x₂为方程mx²﹣8mx+16m﹣1=0的两根，

∴x₁+x₂=﹣=8，x₁•x₂=，

∵|x₁﹣x₂|=2，

∴（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂=4，

∴8²﹣4•=4，

∴m=1，

∴抛物线的解析式为y=x²﹣8x+15；

（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣=4，

∵抛物线开口向上，

∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，

∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，

∴m≥．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．