已知函数
，其中
为常数．
（1）当
时，若
在区间
上的最大值为
，求的值.
（2）当
时，若函数
存在零点，求实数
的取值范围．
已知函数，其中为常数．
（1）当时，若在区间上的最大值为，求的值.
（2）当时，若函数存在零点，求实数的取值范围．
1)由题意
,令
解得
因为
,所以
,
由
解得,由解得
,
从而
的单调递增区间为,减区间为
所以,
,解得
.
(2)函数
存在零点,即方程
有实数根,
由已知,函数的定义域为
,当
时,
,所以
,
当
时,;当
时,
,
所以的单调增区间为
,减区间为
,
所以,所以
.
令
,则
.当时,
;
当时,从而
在上单调递增,在上单调递减,
所以,要使方程有实数根,
只需
即可,则
.
【解析】本题主要考查导数、函数性质、方程与根,考查了存在问题、函数的构造、逻辑思维能力与计算能力.(1)由题意,令解得,因为,所以,再判断
的符号,得函数的单调性,即可求出的最值与a的值;(2)由题意可得方程有实数根,当时,,求出,利用导数,易求;令,利用导数求出
,然后解不等式
即可.