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某生产旅游纪念品的工厂,拟在2017年度进行系列促销活动,经市场调查和测算,该纪念品的年销售量  (单位:万件)与年促销费用(单位:万元)之间满足   成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知加工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元,没生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为年平均每件生产成本的1.5年平均每件所占促销费的一半之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)
)请把该工厂2017年的年利润  (单位:万元)表示成促销费(单位:万元)的函数;
)试问:当2017年的促销费投入多少万元时,该工程的年利润最大?

答案

解:()设反比例系数为   .由题意有  .

 时,  ,所以   

 与的关系是   ),

依据题意,可知工厂生产  万件纪念品的生产成本为  万元,促销费用为万元,则每件纪念品的定价为  /件,

于是  ,进一步化简,得   .

因此工厂2017年的利润为   .

)由()知,    

当且仅当  ,即  时取等号,

所以当2017年的促销费用投入7万元时,工厂的年利润最大,最大利润为42万元.

【解析】 (1)根据反比例函数的定义结合同意代入数值求出k的值,进而通过x表示出年利润y的代数式,对其化简整理即可得到函数式。(2)根据题意利用基本不等式求出最值即可。

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