已知函数
.
⑴求函数
的单调区间；
⑵若函数
有3个不同零点，求实数
的取值范围；
⑶若在
的定义域内存在
，使得不等式
能成立，求实数
的最大值。
已知函数.
⑴求函数的单调区间；
⑵若函数有3个不同零点，求实数的取值范围；
⑶若在的定义域内存在，使得不等式能成立，求实数 的最大值。
解：⑴因为函数
的定义域为
, ………1分
令
得
………………2分
当
时，
,
当
时，
所以
的单调递增区间是
,单调递减区间是
……………5分
⑵函数
有3个不同零点等价于函数的图象与直线
有三个不同交点 ……………6分
由⑴知，在
内单调递增，在内单调递减，在
上单调递增，且当
或
时，
所以的极大值为
，极小值为
…………7分
因为
, ……………8分
函数的草图如下：
所以当且仅当
时,在的三个单调区间
中，直线
和
的图象各有一个交点
因此，
的取值范围为
. ……………10分
⑶设
（x>-1）
……………11分
令
当
则当
时，
有最大值
…………12分
若在区间
内存在
，而使得不等式
能成立，
则
…………13分
，
的最大值为
……………14分