如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．

（1）二次函数的解析式为y=　　　　　　；

（2）证明：点（﹣m，2m﹣1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；

（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．

①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是　　　　　　；

②二次函数的图象上是否存在点p，使得S_三角形POE=2S_三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．

（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式．

（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，

①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．

②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S_三角形ABD=2S_三角形ACD，设P（x， x²﹣x+1），由题意可以解出x．

【解答】（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x﹣2）²（a≠0），

把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）

再代入y=a（x﹣2）²得：1=4a，则a=．

故二次函数的解析式为：y=（x﹣2）²=x²﹣x+1．

（2）证明：设点（﹣m，2m﹣1）在二次函数y=x²﹣x+1的图象上，

则有：2m﹣1=m²+m+1，

整理得m²﹣4m+8=0，

∵△=（﹣4）²﹣4×8=﹣16＜0

∴原方程无解，

∴点（﹣m，2m﹣1）不在二次函数y=x²﹣x+1的图象上．

（3）解：①K（0，﹣3）或（0，5）；

②二次函数的图象上存在点P，使得S_△POE=2S_△ABD，

如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，

∴OE=EF，由于y=x²﹣x+1和y=x+1可求得点B（8，9）

∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），

∴AD∥x轴，

∴S_△ABD=2S_△ACD=2××4×4=16．

设P（x， x²﹣x+1），

由题意有：S_△POE=×4（﹣x+1）=x²﹣2x+2，

∵S_△POE=2S_△ABD

∴x²﹣2x+2=32

解得x=﹣6或x=10，

当x=﹣6时，y=×36+6+1=16，

当x=10时，y=×100﹣10+1=16，

∴存在点P（﹣6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD．

【点评】本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心．