思路分析:本题通过建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,然后利用函数求函数的最值.
解:S=|OP|2=x2+y2=x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1,
则S′=4x3-12x2+6x+4=2(x-2)(2x2-2x-1)=4(x-2)(x-
)(x-
).
令S′=0,则x1=
,x2=
,x3=2.
当x变化时,S′,S的变化情况如下表:
x | (-∞, |
| ( |
| ( | 2 | (2,+∞) |
S′ | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
S | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∵S的定义域为(-∞,+∞),
∴所求的最小值是两个极小值中较小的一个.
∵当x=
时,S=(
)4-4(
)3+3(
)2+4(
)+1=
,
当x=2时,S=24-4×23+3×22+4×2+1=5,
∴S的最小值为
.
)
,
)
,2)