如图，在直三棱柱
中，
，
是棱
上
的一点，
是
的延长线与
的延长线的交点，且
∥平面
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的正弦值．
如图，在直三棱柱中，，是棱上
的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．
解：（Ⅰ）连接
交
于
，连接
.
∵∥平面，
面
，面
面
∴
∥
……………2分
又∵为的中点，
∴为
中点∴
为
中点 ……………4分
∴
∴ ……………5分
（Ⅱ）∵在直三棱柱中，
∴
……………6分
以
为坐标原点，以
, 
所在直线建立空间直角坐标系如图所示。
由（Ⅰ）知为中点
∴点
坐标分别为
，
，
，
设平面
的法向量
∵
且 
∴
取
∴
……………8分
同理：平面
的法向量
……………10分
设二面角平面角为
则
， ∴
……………12分