（1）求证：AF=DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求△ABC的面积.
（1）求证：AF=DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求△ABC的面积.
思路解析：根据题中角的关系进行转化，可证得AF=DF.并由勾股定理、切割线定理计算.
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC.
∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE.
∵∠ADE=∠BAD+∠B，
∴∠ADE=∠DAE.
∴EA=ED.
∵DE是半圆C的直径，
∴∠DFE=90°.
∴AF=DF.
（2）解：连结DM，
∵DE是半圆C的直径，
∴∠DME=90°.
∵FE∶FD=4∶3，
∴可设FE=4x,则FD=3x.
由勾股定理，得DE=5x.
∴AE=DE=5x,AF=FD=3x.
由切割线定理的推论，得AF·AD=AM·AE.
∴3x(3x+3x)=AM·5x.
∴AM=
x.
∴ME=AE-AM=5x-
x=
x.
在Rt△DME中，cos∠AED=
=
.
（3）解：过A点作AN⊥BE于N，
由cos∠AED=
，得sin∠AED=
.
∴AN=
,AE=
x.
在△CAE和△ABE中，
∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA，
∴△CAE∽△ABE.
∴
，即AE2=BE·CE.
∴(5x)2=(10+5x)·
x.
解得x=2.
∴AN=
x=
，BC=BD+DC=10+
×2=15.
∴S△ABC=
BC·AN=
×15×
=72.