如图，在三棱柱
中，
⊥底面ABC，∠BAC＝90°，
，
。M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱
上的动点。
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面
；
（Ⅱ）若P为线段的中点，求证：
∥平面APM；
（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由。
如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，∠BAC＝90°，，。M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱上的动点。
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面；
（Ⅱ）若P为线段的中点，求证：∥平面APM；
（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由。
解：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB＝AC，所以AM⊥BC，
又因为∥，且⊥底面ABC，所以⊥底面ABC。
因为AM
底面ABC，所以⊥
，
又
∩BC＝B，所以AM⊥平面
。
又因为
平面APM，所以平面APM⊥平面。
（Ⅱ）取
中点D，连结
由于D，M分别为
的中点，
所以DM∥
，且
，
则四边形
为平行四边形，所以
∥AM。
又
平面APM，平面APM，
所以∥平面APM。
由于D，N分别为
的中点，所以DN∥
。
又P，M分别为
的中点，所以MP∥B1C。
则DN∥MP，又
平面APM，
平面APM，
所以DN∥平面APM。
由于∩DN＝D，所以平面
∥平面APM，由于
平面，
所以∥平面APM。
（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，由
平面APM，
则BC1⊥PM。
设
，当
⊥PM时，∠BPM＝∠
，
所以Rt△PBM∽Rt△∠，所以
。
由已知
，
所以
，得
，由于
，
因此直线与平面APM不能垂直。